P. R. Halmos, L. E. Sigler: Elemi halmazelmélet ; Halmazelméleti feladatok

E könyvben a kiváló matematikus és pedagógus, a magyar származású P. R. Halmos foglalja össze a halmazelmélet legfontosabb ismereteit.
A címbeli „elemi” szó arra utal, hogy mintegy magas színvonalú ismeretterjesztésként, szemléletes megközelítésben kerül tárgyalásra a témakör. L. E. Sigler éppen e könyvhöz készítette el példatárát, így kerül egy kötetbe a magyar kiadásban az elmélet és alkalmazás.
A fejezetek címei:
1. A meghatározottsági axióma. 2. A részhalmaz-axióma. 3. Rendezetlen párok. 4. Unió és metszet. 5. Kiegészítő halmaz és hatványhalmaz. 6. Rendezett párok. 7. Relációk. 8. Függvények. 9. Halmazcsaládok. 10. Függvények inverze és kompozíciója. 11. A számok. 12. A Peanoaxiómák. 13. Aritmetika. 14. A rendezés. 15. A kiválasztási axióma. 16. A Zorn-lemma. 17. Jólrendezés. 18. Transzfinit rekurzió. 19. Rendszámok. 20. Rendszámhalmazok. 21. Rendszámok aritmetikája. 22. A Schröder – Bernstein-tétel. 23. Megszámlálható halmazok. 24. Számosságok aritmetikája. 25. Számosságok.
A halmazelméletben az „elemi” és az „axiomatikus” szavak ellentétes értelműek. „Axiomatikus halmazelmélet elemi szempontok alapján” – talán ez fejezi ki leghívebben jelen könyv tárgyalásmódját, hiszen axiomatikus annyiban, hogy ismertet és használ bizonyos halmazelméleti axiómákat mint minden későbbi bizonyítás alapját. Elemi viszont olyan értelemben, hogy nyelve és jelölései a szokásos nem formalizált (de formalizálható) matematikai nyelv és jelölések. Még fontosabb, hogy az elemi szemlélet szerint a halmazelméletet mint tények összességét tekintjük, ahol az axiómák a megfelelő rövid összegezést adják; a következetesen axiomatikus tárgyalásban ezzel szemben a különböző axiómák közötti logikai kapcsolatok állnak a vizsgálódások középpontjában. Hasonlóképpen: tisztán eleminek csak az a geometriai tárgyalás tekinthető, amely csak a papírhajtogatást bízza az intuícióra, míg a másik véglet, a tisztán axiomatikus megközelítés, a különböző nemeuklideszi geometriák axiómáit ugyanakkora súllyal tárgyalja, mint az euklideszit. E könyv felfogásának egyetlen axiómarendszer vizsgálata felel meg, amely pl. csak az euklideszi geometria leírásával foglalkozik...