Szolcsányi Endre: Differenciálgeometria és vektoranalízis

A differenciálgeometria a geometriai objektumokat az analízis eszközeivel vizsgálja. Történetét tekintve a differenciálgeometria az analízisből fejlődött ki. Önálló tudománnyá a XVIII. században L. Euler és G. Monge munkássága folytán kezd válni. A felületelméletről szóló első dolgozatot Monge írta (Analízis melléklet a geometriához. 1795.) A fejlődés ténylegesen C. F. Gauss fellépésével kezdődött, aki az 1827-ben közzétett "Általános tanulmány a felületek görbéiről" c. munkájában lerakta a modern felületelmélet alapjait. Lényegében ez az ún. klasszikus differenciálgeometria, amely a háromdimenziós euklideszi tér görbéivel és felületeivel foglalkozik. A további fejlődésre igen nagy hatással volt a nem-euklideszi geometriák felfedezése. A modern differenciálgeometria alapjait B. Riemann 1854-ben írt "A geometria alapját képező hipotézisekről" c. művében vetette meg. A XIX. század végén és a XX. század elején kezdődött a fejlődés egy új szakasza. Ekkor vonul be a differenciálgeometria fegyvertárába a tenzoralgebra és tenzoranalízis (G. C. Ricci) és a csoportelmélet (S. Lie). Erre az időre esik a differenciálható sokaságok elméletének kialakulása. Ebben a jegyzetben a klasszikus differenciálgeometriával, közelebbről a térgörbékkel és felületekkel, vagy ha úgy tetszik egy, ill. két paraméteres sokaságokkal foglalkozunk a háromdimenziós euklideszi térben.